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FINE Joel
Unités
Responsable d'Unité : Oui
Les recherches de cette unité sont consacrées à divers aspects de la géométrie différentielle : géométrie symplectique, géométrie de Kähler, quantification par déformations, topologie symplectique et de contact.
Projets
La géométrie complexe des fibrés plat sur les variétés hyperboliques de dimensions 3
Le fibré des repères X sur une 3-variété hyperbolique M est, de manière naturelle, une variété complexe avec fibré canonique trivial. Celà nous permet de donner une description holomorphe des fibrés vectoriels plats sur M. Dans un premier lieu, on peut voir qu'un SL(2,C)-fibré plat au-dessus de M définit une structure complexe alternative sur X. Ou bien on peut fixer la structure complexe et le pullback de M d'un fibré vectoriel plat est, de manière naturelle, un fibré vectoriel holomorphe sur X. Cette procédure donne un plongement de la théorie de Chern-Simons de M dans la théorie de Chern-Simons holomorphe de X. On peut espérer que les techniques de l'une résolvent des problèmes de l'autre. Par exemple, étant donné un fibré plat au-dessus de M muni d'une métrique hermitienne, la métrique tirée-en-arrière sur le fibré holomorphe est hermitienne-Einstein si et seulement si la métrique originale est harmonique. De là nous voulons voir si la théorie des applications harmoniques peut nous éclairer sur la comprehension du comportement des connexions hermitiennes-Einstein sur X.
Une métrique kählerienne extrémale, quand elle existe, est un représentant canonique pour sa classe de Kähler. L'existence d'une telle métrique a été conjecturée équivalente à la stabilité de la variété polarisée qui la porte. Via la quantification, il y a un lien fort entre les métriques extrémales et les plongements projectifs qui sont équilibrés. En plus de ces aspects, on s'intéresse aussi à la production de métriques extrémales par l'analyse géométrique. Un outil pour cette approche est le flot de Calabi, qui essaye de déformer une métrique donnée vers une métrique extrémale. La quantification de ce flot est le flot d'équilibrage, un certain flot sur l'espace des plongements projectifs. On cherche à mieux comprendre le flot de Calabi via le flot d'équilibrage.
Géométrie complexe, symplectique et de contact, quantification et intéractions (ARC)
Ce projet de recherche implique trois sujets inter-connectés : la quantification, la géométrie symplectique et la géométrie de Kähler. Cette recherche suivra deux directions principales : l'utilisation d'idées de la géométrie de l'application moment et l'utilisation de flots géométriques
Une SO(3)-connexion sur une variété de dimension 4 est dite définie si sa courbure est non-nulle sur tout 2-plan tangent. Etant donnée une telle connexion, le fibré en 2-sphère correspondant est muni d'une structure symplectique. Une connexion définie a un signe : positif pour une variété de Fano et négatif pour une variété de Calabi-Yau. L'étude des connexions définies mène à la construction d'exemples, notamment en utilisant la géométrie hyperbolique, ainsi qu'à des tentatives pour mieux comprendre les variétés de dimension 4 qui portent une connexion définie. Il y a un flot géométrique qui essaye de déformer une connexion définie donnée vers une qui satisfait une certaine EDP. La compréhension de la formation de singularités dans ce flot est un étape importante pour comprendre quelle sont les variétés qui portent une connexion définie.
