Une SO(3)-connexion sur une variété de dimension 4 est dite définie si sa courbure est non-nulle sur tout 2-plan tangent. Etant
donnée une telle connexion, le fibré en 2-sphère correspondant est muni d'une structure symplectique. Une connexion définie a
un signe : positif pour une variété de Fano et négatif pour une variété de Calabi-Yau. L'étude des connexions définies
mène à la construction d'exemples, notamment en utilisant la géométrie hyperbolique, ainsi qu'à des tentatives pour mieux
comprendre les variétés de dimension 4 qui portent une connexion définie. Il y a un flot géométrique qui essaye de déformer une
connexion définie donnée vers une qui satisfait une certaine EDP. La compréhension de la formation de singularités dans ce flot
est un étape importante pour comprendre quelle sont les variétés qui portent une connexion définie.