Le fibré des repères X sur une 3-variété hyperbolique M est, de manière naturelle, une variété complexe avec fibré
canonique trivial. Celà nous permet de donner une description holomorphe des fibrés vectoriels plats sur M. Dans un premier lieu, on
peut voir qu'un SL(2,C)-fibré plat au-dessus de M définit une structure complexe alternative sur X. Ou bien on peut fixer la
structure complexe et le pullback de M d'un fibré vectoriel plat est, de manière naturelle, un fibré vectoriel holomorphe sur X.
Cette procédure donne un plongement de la théorie de Chern-Simons de M dans la théorie de Chern-Simons holomorphe de X. On peut
espérer que les techniques de l'une résolvent des problèmes de l'autre. Par exemple, étant donné un fibré plat au-dessus de M
muni d'une métrique hermitienne, la métrique tirée-en-arrière sur le fibré holomorphe est hermitienne-Einstein si et
seulement si la métrique originale est harmonique. De là nous voulons voir si la théorie des applications harmoniques peut  nous
éclairer sur la comprehension du comportement des connexions hermitiennes-Einstein sur X.